数学教学设计－圆

心O)的距离都等于定长(半径的长r)；

　　(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上；（结合下图）

　　引出轨迹的概念：我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上．（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师要精讲，细讲）

　　上面左图符合（1）但不符合（2）；中图不符合（1）但符合（2）；只有右图（1）（2）都符合．因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆．

　　轨迹1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。（研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键）

　　（二）类比、研究1

　　（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识）

　　轨迹2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；

　　轨迹3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；

　　（三）巩固概念

　　练习：画图说明满足下列条件的点的轨迹：

　　(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；

　　(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹；

　　(3)经过已知点A、B的圆O，圆心O的轨迹．

　　（A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹；B、C层学生在老师的指导或带领下完成）

　　（四）类比、研究2

　　（这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升．这次通过电脑动画，使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力）

　　轨迹4：到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

　　轨迹5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线．

　　（五）巩固训练

　　练习题1：画图说明满足下面条件的点的轨迹： 

　　1．到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；

　　2．已知直线AB∥CD，到AB、CD距离相等的点的轨迹．

　　（A层学生独立画图探索；然后回答出点的轨迹是什么，对B、C层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生）

　　练习题2：判断题

　　1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线．(　)

　　2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹，是到点B的距离等于5cm的圆．(　)

　　3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线．(　)

　　4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹，是底边a的垂直平分线．(　)

　　(这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性．题目由学生自主完成、交流、反思)

　　(教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求)

　　（六）理解、小结

　　（1）轨迹的定义两层意思；

　　（2）常见的五种轨迹。

　　（七）作业

　　教材P₈₂习题2、6．

探究活动

爱尔特希问题

　　在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?

　　分析与解：开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑．最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.

　　其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).

　　最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上，只要将任一圆周5等分，取其中任意四点即可(见图中的第4个图)．

　　综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心)；②任意菱形的4个顶点；③任意正五边形的其中4个顶点．

　　上述问题是大数学家爱尔特希(P．Erdos)提出的：“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中n＝4的情形．

　　当n＝3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解．已经证明，时，问题无解．