数学教学设计－不等式证明一（比较法）
数学教案－不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论
二、作差法：（P13—14）
1． 求证：x2 + 3 > 3x
证：∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2． 已知a, b, m都是正数，并且
www.xuehuiba.coma < b，求证：
证：
∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 , b - a > 0
∴
变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
3． 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
证：(a5 + b5 ) - (a2b3 +
www.xuehuiba.coma3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)
= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ¹ b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2
www.xuehuiba.comb3 + a3b2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，
则：
∴
∵S, m, n都是正数，且m ¹ n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2
从而：甲先到到达指定地点。
变式：若m = n，结果会怎样？
www.xuehuiba.com三、作商法
5． 设a, b Î R+，求证：
证：作商：
当a = b时，
当a > b > 0时，
当b > a > 0时，
∴
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：作差、作商
五、作业： P15 练习
P18 习题6.3 1—4