充分条件与必要条件

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    (学生口答)
    (1)“ ,”是“ ”成立的充分条件;
    (2)“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;
    (3)“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件.
    从另一个角度看,假如 成立,那么其逆否命题 也成立,即假如没有 ,也就没有 ,亦即 是 成立的必须要有的条件,也就是必要条件.
    (板书必要条件的定义.)
    提出问题:用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.
    (学生口答).
    (1)因为 ,所以 是 的充分条件, 是 的必要条件;
    (2)因为 ,所以 是 的必要条件, 是 的充分条件;
    (3)因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;
    (4)因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;
    (5)因为 ,所以 是 的必要条件, 是 的充分条件;
    (6)因为“方程 的有两个不等的实根” “ ”,而且“方程 的有两个不等的实根” “ ”,所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件,而且是必要条件.
    总结:假如 是 的充分条件, 又是 的必要条件,则称 是 的充分必要条件,简称充要条件,记作 .
    (板书充要条件的定义.)
    3.巩固新课
    例1 (用投影仪投影.)
    B
    A是B的什么条件
    B是 的什么条件
    是有理数
    是实数
    、 是奇数
    是偶数
    是4的倍数
    是6的倍数
    (学生活动,教师引导学生作出下面回答.)
    ①因为有理数一定是实数,但实数不一定是有理数,所以 是 的充分非必要条件, 是 的必要非充分条件;
    ② 一定能推出 ,而 不一定推出 ,所以 是 的充分非必要条件, 是 的必要非充分条件;
    ③ 、 是奇数,那么 一定是偶数; 是偶数, 、 不一定都是奇数(可能都为偶数),所以 是 的充分非必要条件, 是 的必要非充分条件;
    ④ 表示 或 ,所以 是 成立的必要非充分条件;
    ⑤由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件;
    ⑥由 知 且 ,所以 是 成立的充分非必要条件;
    ⑦由 知 或 ,所以 是 , 成立的必要非充分条件;
    ⑧易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件;
    (通过对上述问题的交流、思辩,在争论中得到了正确答案,并加深了对充分条件、必要条件的熟悉.)
    例2 已知 是 的充要条件, 是 的必要条件同时又是 的充分条件,试 与 的关系.(投影)
    解:由已知得
    ,
    所以 是 的充分条件,或 是 的必要条件.
    4.小结回授
    今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念,并学会了判定条件A是B的什么条件,这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.
    课内练习:课本(人教版,试验修订本,第一册(上))第 35页练习l、2;第36页练习l、2.
    (通过练习,检查学生把握情况,有针对性的进行讲评.)
    5.课外作业:教材第36页 习题1.8 1、2、3.

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