数列
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; 由此可以看出,给定一个数列,应能够指明第一项是多少,第二项是多少,……,每一项都是确定的,即指明项数,对应的项就确定.所以数列中的每一项与其项数有着对应关系,这与我们学过的函数有密切关系.
(板书)2.数列与函数的关系
数列可以看作非凡的函数,项数是其自变量,项是项数所对应的函数值,数列的定义域是正整数集 ,或是正整数集 的有限子集 .
于是我们研究数列就可借用函数的研究方法,用函数的观点看待数列.
碰到数学概念不单要下定义,还要给其数学表示,以便研究与交流,下面探讨数列的表示法.
(板书)3.数列的表示法
数列可看作非凡的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 表示第一项,用 表示第一项,……,用 表示第 项,依次写出成为
(板书)(1)列举法
.(如幻灯片上的例子)简记为 .
一个函数的直观形式是其图象,我们也可用图形表示一个数列,把它称作图示法.
(板书)(2)图示法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐标,相应的项 为纵坐标,即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列 为例,做出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
有些函数可以用解析式来表示,解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系,类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来,即 ,这个函数式叫做数列的通项公式.
(板书)(3)通项公式法
如数列 的通项公式为 ;
的通项公式为 ;
的通项公式为 ;
数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项.
例如,数列 的通项公式 ,则 .
值得注重的是,正如一个函数未必能用解析式表示一样,不是所有的数列都有通项公式,即便有通项公式,通项公式也未必唯一.
除了以上三种表示法,某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式.
(板书)(4)递推公式法
如前面所举的钢管的例子,第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 ,再给定 ,便可依次求出各项.再如数列 中, ,这个数列就是 .
像这样,假如已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系用一个公式来表示,这个公式叫做这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法,它包含两个部分,一是递推关系,一是初始条件,二者缺一不可.
可由学生举例,以检验学生是否理解.
三.小结
1.数列的概念
2.数列的四种表示
四.作业 略
五.板书设计
数列
(一)数列的概念涉及的数列及表示
1.数列的定义
2.数列与函数的关系
3.数列的表示法
(1)列举法
(2)图示法
(3)通项公式法
(4)递推公式法
探究活动
将边长为 厘米的正方形分成 个边长为1厘米的正方形,数出其中所有正方形的个数.
解:当 时,共有正方形 个;当 时,共有正方形 个;当 时,共有正方形 个;当 时,共有正方形 个;当 时,共有正方形 个;归纳猜想边长为 厘米的正方形中的正方形共有 个.