曲线和方程

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的方程．

　　首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．

　　解法一：易求线段 的中点坐标为（1，3），

　　由斜率关系可求得l的斜率为

　　于是有

　　即l的方程为

       ①

　　分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线 的方程？根据是什么，有证明吗？

　　（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．

　　证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．

　　设 是线段 的垂直平分线上任意一点，则

          即

　　将上式两边平方，整理得

　　这说明点 的坐标 是方程 的解．

　　（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

　　设点 的坐标 是方程①的任意一解，则

        到 、 的距离分别为



　　　　

　　　　



　　　　

　　　　

     所以 ，即点 在直线 上．

     综合（1）、（2），①是所求直线的方程．

    至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设 是线段 的垂直平分线上任意一点，最后得到式子 ，如果去掉脚标，这不就是所求方程 吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

　　解法二：设 是线段 的垂直平分线上任意一点，也就是点 属于集合

　　由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

　　将上式两边平方，整理得

　　果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．

　　这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．

　　让我们用这个方法试解如下问题：

　　例2：点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程．

　　分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．

　　求解过程略．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

　　分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

　　首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：

　　（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如 表示曲线上任意一点 的坐标；

　　（2）写出适合条件 的点 的集合

；

　　（3）用坐标表示条件 ，列出方程 ；

　　（4）化方程 为最简形式；

　　（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

　　一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．

　　上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．

　　下面再看一个问题：

　　例3：已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一点到

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点的距离减去它到 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

　　【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．

　　解：设点 是曲线上任意一点， 轴，垂足是 （如图2），那么点 属于集合

　　由距离公式，点 适合的条件可表示为

          ①

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