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数学教学设计-直线的倾斜角和斜率

[10-16 11:56:27]   来源:http://www.xuehuiba.com  高二数学教案   阅读:8538
概要:反之,直线上每一点的坐标( , )都满足函数式 www.xuehuiba.com ,因此,一次函数 的图象是一条直线,它是以满足 的每一对x,y的值为坐标的点构成的.从方程的角度看,函数 也可以看作是二元一次方程 ,这样满足一次函数 的每一对 , 的值“变成了”二元一次方程 的解,使方程和直线建立了联系.定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线.以上定义改用集合表述: , 的二元一次方程的解为坐标的集合,记作 .若(1) (2) ,则 .问:你能用充要条件叙述吗?答:一条直线是一个方程的直线,或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….(二)直线的倾斜角【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线,并观察它们的异同.过定点,方向不同.如何确定一条直线? 两点确定一条直线.还有其他方法吗?或者说如果只给出一点,要确定这条直线还应增加什
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  反之,直线上每一点的坐标(    )都满足函数式 

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,因此,一次函数  的图象是一条直线,它是以满足  的每一对xy的值为坐标的点构成的.

  从方程的角度看,函数  也可以看作是二元一次方程  ,这样满足一次函数  的每一对 的值“变成了”二元一次方程  的解,使方程和直线建立了联系.

  定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线.

  以上定义改用集合表述: 的二元一次方程的解为坐标的集合,记作 .若(1) (2) ,则

  问:你能用充要条件叙述吗?

  答:一条直线是一个方程的直线,或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….

(二)直线的倾斜角

【问题1】

  请画出以下三个方程所表示的直线,并观察它们的异同.

 

  过定点,方向不同.

  如何确定一条直线?

   两点确定一条直线.
  还有其他方法吗?或者说如果只给出一点,要确定这条直线还应增加什么条件?
学生:思考、回忆、回答:这条直线的方向,或者说倾斜程度.

【导入】

  今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.

【问题2】
  在坐标系中的一条直线,我们用怎样的角来刻画直线的方向呢?讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢?它不仅能解决我们的问题,同时还应该是简单的、自然的.
  学生:展开讨论.
  学生讨论过程中会有错误和不严谨之处,教师注意引导.
  通过讨论认为:应选择α角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识,表明一个方向可以有无穷多个角,这里只需一个角即可(开始时可能有学生认为有四个角或两个角),当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.
【板书】

  定义:一条直线l向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角叫做直线 的倾斜角.

  (教师强调三点:(1)直线向上的方向,(2) 轴的正方向,(3)最小正角.)

  特别地,当 轴平行或重合时,规定倾斜角为0°.
  由此定义,角的范围如何?
  0°≤α<180°或0≤α<π   如图3

 

  至此问题2已经解决了,回顾一下是怎么解决的.

(三)直线的斜率

【问题3】
  下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线,并试着写出它们的直线方程.然后观察思考:
直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的?

  学生:在练习本上画出直线,写出方程.
   30° ß--à  

  45° ß--à 

  135°ß--à

  (注:学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难,但对于倾斜角是30°可能有困难,此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决.)

【演示动画】

  观察直线变化,倾斜角变化,直线方程中 系数变化的关系

  (1)  直线变化→α变化→  中的 系数 变化    (同时注意 α的变化).

  (2)  中的x系数k变化→直线变化→α变化    (同时注意 α的变化).

  教师引导学生观察,归纳,猜想出倾斜角与 的系数的关系:倾斜角不同,方程中 的系数不同,而且这个系数正是倾斜角的正切!

【板书】

  定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作 ,即 

  这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于 轴(正方向)倾斜程度的量——倾斜角,现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于 轴(正方向)倾斜程度的量——斜率.

  指出下列直线的倾斜角和斜率:

     (2) tg60°    (3) tg(-30°)

  学生思考后回答,师生一起订正:(1)120°; (2)60°;(3)150°(为什么不是-30°呢?)

画图,指出倾斜角和斜率.
  结合图3(也可以演示动画),观察倾斜角变化时,斜率的变化情况.


  注意:当倾斜角为90°时,斜率不存在.

  α=0°      ß--à    =0

  0°<α<90° ß--à   

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>0

  α=90°     ß--à   不存在

  90°<α<180°ß--à  <0

(四)直线过两点斜率公式的推导

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